М-1. Пусть в некотором треугольнике ABC: P - периметр, R - радиус описанной окружности, h1,h2,h3 - длины высот. Докажите, что P >= sqrt(2*R)*(sqrt(h1)+sqrt(h2)+sqrt(h3)).
М-2. Верно ли, что для любого натурального N выполняется неравенство 2005*N > [N/1]+[N/2]+...+[N/N]? ([x]-наибольшее целое число, не превосходящее x).
М-3. Может ли один из корней уравнения x2-2*( sin(a) + cos(a) )+sin(2a)=0 при некотором a быть в три раза больше другого?
М-4. Известно, что некоторые натуральные числа можно представить в виде суммы нескольких (>=2) последовательных натуральных чисел. Например: 5=2+3; 6=1+2+3; 22=4+5+6+7. Какие натуральные числа и почему нельзя представить в таком виде?
Ф-1. 
Грузы массами m и 3m связаны легкой нитью, перекинутой через блок, укрепленный на бруске. Верхняя горизонтальная поверхность бруска гладкая, коэффициент трения между вертикальной поверхностью бруска и грузом массой 3m равен k=0.1. С каким минимальным ускорением a надо двигать брусок по столу, чтобы груз массой 3m поднимался вверх? Трением в оси блока пренебречь.
Ф-2. Полушар закреплён на горизонтальной поверхности стола. На полушаре на высоте H от стола удерживают небольшую шайбу. Шайбу отпускают, и она скользит по гладкой поверхности полушара. На какой высоте от стола шайба оторвётся от полушара?
Ф-3. Давление воздуха в цилиндре под поршнем уменьшилось на 40%, а температура (по шкале Кельвина) увеличилась на 20%. На сколько процентов и как изменилась плотность воздуха в цилиндре?
Ф-4. 
В центре двух концентрических проводящих оболочек с зарядами q2 и q3 находится точечный заряд q1. Напряженности электрического поля на расстояниях R, 2R и 3R равны 4E0, 2E0 и E0 (E0>0). Считая известными E0 и R, найдите заряды q1, q2 и q3.
Ф-5. Небольшая лампочка находится вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии d=35см от линзы. Фокусное расстояние линзы F=20см. Линза совершает колебания с амплитудой A0=3см, двигаясь поступательно в плоскости, перпендикулярной её главной оптической оси. Найдите амплитуду колебаний изображения нити лампочки на экране.